Пакетная дискриминация

Пакетная дискриминация

Пособие представляет собой первую часть учебника по методам микроэкономического анализа, ориентированного на студентов старших курсов первой ступени обучения и магистрантов экономических факультетов, специализирующихся в экономической теории. Оно посвящено методам анализа несовершенной конкуренции.

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ 4
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ НЕКООПЕРАТИВНЫХ ИГР 5
ВВЕДЕНИЕ 5
1. СТАТИЧЕСКИЕ ИГРЫ С ПОЛНОЙ ИНФОРМАЦИЕЙ 5
Нормальная форма игры 6
Концепция доминирования 8
Последовательное отбрасывание строго доминируемых стратегий 11
Равновесие по Нэшу 12
Равновесие Нэша в смешанных стратегиях 15
Приложение A 18
Приложение B 18
Задачи 20
2. ДИНАМИЧЕСКИЕ ИГРЫ С СОВЕРШЕННОЙ ИНФОРМАЦИЕЙ 22
Задачи 30
3. ДИНАМИЧЕСКИЕ ИГРЫ С НЕСОВЕРШЕННОЙ ИНФОРМАЦИЕЙ 31
Задачи 35
4. СТАТИЧЕСКИЕ ИГРЫ С НЕПОЛНОЙ ИНФОРМАЦИЕЙ 36
Задачи 41
5. ДИНАМИЧЕСКИЕ БАЙЕСОВСКИЕ ИГРЫ. СОВЕРШЕННОЕ БАЙЕСОВСКОЕ РАВНОВЕСИЕ 42
Задачи 47
6. ИГРЫ И ПАРЕТО-ОПТИМАЛЬНОСТЬ 47
Сотрудничество в повторяющихся играх 48
Игры торга 50
Задачи 52
КВАЗИЛИНЕЙНАЯ ЭКОНОМИКА И ЧАСТНОЕ РАВНОВЕСИЕ 53
1. ХАРАКТЕРИСТИКА ПАРЕТО-ОПТИМАЛЬНЫХ СОСТОЯНИЙ В КВАЗИЛИНЕЙНЫХ ЭКОНОМИКАХ 54
2. ХАРАКТЕРИСТИКА ПОВЕДЕНИЯ ПОТРЕБИТЕЛЕЙ В КВАЗИЛИНЕЙНЫХ ЭКОНОМИКАХ 58
Потребительский излишек: определение, связь с прямой и обратной функциями спроса 61
3. ХАРАКТЕРИСТИКА ПОВЕДЕНИЯ ПРОИЗВОДИТЕЛЕЙ В КВАЗИЛИНЕЙНЫХ ЭКОНОМИКАХ 62
Излишек производителя 63
4. СВЯЗЬ ИЗЛИШКОВ ПОТРЕБИТЕЛЯ И ПРОИЗВОДИТЕЛЯ С ИНДИКАТОРОМ БЛАГОСОСТОЯНИЯ 63
5. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СУММАРНОГО СПРОСА ПОСРЕДСТВОМ МОДЕЛИ РЕПРЕЗЕНТАТИВНОГО ПОТРЕБИТЕЛЯ 64
Задачи 65
МОНОПОЛИЯ 66
1. МОДЕЛЬ ОБЫЧНОЙ МОНОПОЛИИ 66
Существование равновесия при монополии 66
Свойства монопольного равновесия 68
Сравнительная статика 70
Анализ благосостояния в условиях монополии 72
Задачи 74
2. ЦЕНОВАЯ ДИСКРИМИНАЦИЯ 75
Дискриминация первого типа. Идеальная дискриминация 76
Дискриминация второго типа (нелинейное ценообразование 80
Дискриминация второго типа: пакетная дискриминация 81
Дискриминация второго типа: двухкомпонентный тариф 85
Сравнительный анализ схем ценообразования при дискриминации второго типа 88
3-й тип ценовой дискриминации: «сегментация рынка» 89
Задачи 92
ОЛИГОПОЛИЯ 94
1. МОДЕЛЬ КУРНО 94
Свойства равновесия Курно в случае постоянных и одинаковых предельных издержек 95
Симметричность равновесия и положительность выпусков 96
Существование и единственность равновесия 96
Сравнение равновесия Курно с равновесиями при монополии и совершенной конкуренции 96
Рост выпуска с ростом числа участников 97
Свойства равновесия Курно в случае функций издержек общего вида 97
Существование равновесия 97
Сравнение равновесия Курно с равновесием при совершенной конкуренции 98
Симметричность равновесия, положительность выпусков и единственность 99
Поведение равновесия в модели Курно при росте количества фирм 100
Равновесие Курно и благосостояние 103
Модель Курно и количество фирм в отрасли 104
Задачи 106
2. МОДЕЛЬ ДУОПОЛИИ ШТАКЕЛЬБЕРГА 108
Существование равновесия Штакельберга 109
Равновесие Штакельберга и равновесие Курно 110
Приложение 112
Задачи 113
3. КАРТЕЛЬ И СГОВОР 113
Неоптимальность равновесия Курно с точки зрения олигополистов 113
Сговор 114
Картель 116
Задачи 118
4. МОДЕЛЬ БЕРТРАНА 118
Продуктовая дифференциация и ценовая конкуренция 120
Модель Бертрана при возрастающих предельных издержках 122
Обсуждение гипотез модели 122
Модель 124
Сравнение с равновесием Бертрана 125
Динамический вариант модели Бертрана (повторяющиеся взаимодействия) 126
Задачи 127
5. МОДЕЛЬ ОЛИГОПОЛИИ С ЦЕНОВЫМ ЛИДЕРСТВОМ 127
Задачи 128
ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА 129
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ 130

Предисловие

В настоящее время многие российские вузы перешли на двухступенчатую систему образования и предлагают программы подготовки магистров по специальности «Экономическая теория». Этому движению в сторону модернизации экономического образования в России мешает отсутствие методических пособий для магистратуры практически по всем дисциплинам, поэтому усилия по разработке таких методических пособий крайне важны. В рамках программы TEMPUS-TACIS сотрудниками экономического факультета НГУ подготовлены пособия, в том числе, и по ряду дисциплин второй ступени.
Настоящая книга открывает серию учебных пособий, посвященных методам микроэкономического анализа. Она отражает опыт преподавания экономической теории на экономическом факультете Новосибирского государственного университета, где традиционно большую роль играли математические методы. Поэтому в книге много места уделено формально-логическому обоснованию моделей изучаемых экономических явлений и методов их анализа.
Конечно, по своему характеру программы обучения студентов второй ступени должны отражать сравнительные преимущества вуза, специализацию его сотрудников, и поэтому могут сильно отличаться друг от друга. Вместе с тем, различия не должны быть столь большими в содержании базовых дисциплин, составляющих ядро программы подготовки экономистов, таких как микроэкономика, макроэкономика, эконометрика. Поэтому, как думается, данное учебное пособие окажется полезным в преподавании микроэкономических курсов на экономических факультетах многих вузов России.

Декан экономического факультета НГУ,
д.э.н., профессор Г. М. Мкртчян

Пакетная дискриминация

?x = x? = · 2 = .
4i 16c2
4 4c
v
Поскольку v(x) = x, то цены находятся по формуле

j?x ? (j ? 1)?x, i = 1, . . . , 4.
pj =

Т. е.
v
p1 = 1/4c, p2 = ( 2 ? 1)/4c,
v v v
p3 = ( 3 ? 2)/4c, p4 = (2 ? 3)/4c.

Мы рассмотрели три различные схемы, к которым может прибегнуть монополист. Но это
не единственные возможные схемы. В общем случае нелинейная схема оплаты ti (·) при идеаль-
ной дискриминации должна быть такой, чтобы соответствующая кривая всюду лежала выше
кривой vi (·), и касалась кривой vi (·) в точке x? . Первое требование соответствует тому, что
i
потребитель должен добровольно выбрать xi = x? , второе требование соответствует тому, что
i
потребитель должен добровольно участвовать в сделке — прирост его полезности в результате
сделки должен равняться нулю. Графическая иллюстрация дана на Рис. 13.12.

Количество блага, покупаемое каждым потребителем, таково, что предельные полезности
равны предельным издержкам. То есть ситуация с производством этого блага такая же, как
при совершенной конкуренции, чего нельзя сказать о процессе распределения дохода от этой
деятельности. В условиях совершенной конкуренции потребительский излишек остается у каж-
дого потребителя, а здесь он целиком достается монополисту. Если нас не интересует проблема
справедливости распределения доходов, например, если мы считаем, что ее можно решить в
рамках эффективной системы налогов и трансфертов, то мы видим, что первая схема дискри-
минации в рассматриваемых условиях приводит к эффективным вариантам производственной
деятельности монополиста. Таким образом, проблема с неэффективностью монополии состоит
не в том, что монополист получает «сверхприбыль», а в том, что он не может осуществлять
идеальную дискриминацию, которая приводит к эффективности по Парето.
Что мешает монополисту осуществлять идеальную дискриминацию? Перечислим некото-
рые возможные причины.
13.2. Ценовая дискриминация 484

1) Существует вторичный рынок (арбитраж). Те сделки, которые монополист сконструиро-
вал для каждого покупателя, вполне могут не реализоваться. Потребитель может купить не
то количество x? , которое ему предлагается, а большее количество, xi > x? , и перепродать
i i
? по выгодной цене другому потребителю.
xi ? xi

2) Монополист должен знать слишком много. Он должен знать функцию полезности каждо-
го потребителя. Если он не знает функцию полезности каждого потребителя или не может
различать потребителей, то он просто не может проводить идеальную дискриминацию.

3) По каким-то соображениям, например, по соображениям, связанным с обеспечением равен-
ства доходов, дискриминация первого типа может быть запрещена.

Могут возникнуть и другие обстоятельства, которые способны помешать реализации дан-
ного варианта дискриминации. Любая дискриминация в реальных условиях не может быть
идеальной. Эта схема является точкой отсчета для сравнения идеального, с точки зрения
эффективности, с тем, что в реальности является возможным.

13.2.2 Дискриминация второго типа (нелинейное ценообразование)
Предположим теперь, что монополист не имеет возможности предлагать разным потреби-
телям разные сделки (либо потому, что не умеет их различать, либо потому, что ограничен
законодательством в праве такой «персонифицированной» дискриминации).
Поскольку монополист не может различать потребителей, то он должен предложить об-
щую для всех потребителей нелинейную схему оплаты t(·). Заметим, что если бы не было
никаких препятствий для перепродаж, то любая схема оплаты свелась бы к обычной линей-
ной схеме вида t(xi ) = pxi . Тем самым, анализ при наличие арбитража совпадает с анализом
классической модели монополии, рассмотренной нами ранее. Как и ранее, мы будем предпо-
лагать отсутствие арбитража, что означает, что каждый потребитель потребляет то же самое
количество блага, которое он купил.
Понятно, что, как и дискриминация первого типа, дискриминация второго типа может осу-
ществляться различными способами. Однако, результаты дискриминации второго типа могут
быть различными в зависимости от выбранной схемы. Ниже мы рассмотрим две простейшие
схемы — пакетную дискриминацию и двухкомпонентный тариф.
В дальнейшем для простоты мы будем предполагать, что на рынке есть всего два типа
потребителей. Типичного потребителя первого типа, назовем господином Low, а типичного
потребителя второго типа — господином High16 . В дальнейшем будем предполагать, что гос-
подин Low при любых количествах оценивает рассматриваемое благо ниже, чем господин High,
т. е.
vl (x) 0.

Дискриминация второго типа: пакетная дискриминация
В общем случае монополист может предложить потребителям на выбор k пакетов: (xj , tj ),
j = 1, . . . , k . Задача монополиста состоит в том, чтобы выбрать пакеты так, чтобы получить
наибольшую прибыль (от тех пакетов, которые ему удастся продать). Прежде всего, приведем
модель к эквивалентному, но более простому виду.
16
Тот, кто не приемлет англицизмы, может заменить, например, имена на «Коротышку» и «Дылду».
13.2. Ценовая дискриминация 485

Во-первых, отметим, что нам достаточно рассмотреть случай, когда монополист предлагает
только два пакета (k = 2). (Читатель может сам провести рассуждения, доказывающие это.)
Во-вторых, вспомним факт, упоминавшийся выше в контексте дискриминации первого ти-
па, что если ограничение участия не выполнено, то потребитель уйдет с рынка, и монополист
получит такую же прибыль, как и в случае, когда потребитель выбрал пакет вида (xi , ti ) = (0,
0). Поэтому можно ограничится рассмотрением только таких схем, при которых ни один по-
требитель не уйдет с рынка. Добавим это ограничение — условие участия — к задаче монопо-
листа. Тем самым мы получим эквивалентную задачу (с точки зрения прибыли монополиста),
но анализ упростится, так как целевая функция перестанет быть разрывной.
В-третьих, мы можем считать, что пакеты помечены индексом участников:

(xl , tl ) (xh , th ).
и

Первый из пакетов предназначен для господина Low, а второй — для господина High.
При этом в задачу монополиста добавляется ограничение, которое гарантирует, что ни одному
потребителю не выгодно выбирать пакет, который ему не предназначен — так называемое
условие самовыявления.
Для «господина Low» условие самовыявления имеет вид

vl (xl ) ? tl vl (xh ) ? th ,

а для «господина High» —
vh (xh ) ? th vh (xl ) ? tl .
При добавлении этих ограничений задача остается эквивалентной исходной. Действитель-
но, если потребители «поменяются пакетами», то можно просто поменять индексы пакетов.
Если же все потребители выберут один и тот же пакет, то можно сделать другой пакет совпа-
дающим с выбранным потребителями. В обоих случаях прибыль не изменится.
Таким образом, мы будем анализировать модель, в которой монополист выбирает сделки
из семейства сделок (xl , tl ), (xh , th ), задаваемого условиями участия и самовыявления. Если
xl x .
h
?

Сначала покажем графически (см. Рис. 13.13), что те пакеты, которые монополист выбрал
бы при идеальной дискриминации, в данном случае не являются оптимальными. При этом
будем использовать дополнительное упрощающее предположение, что предельные издержки
постоянны, c > 0. Каждому из типов потребителей при идеальной дискриминации будет пред-
ложена сделка
(xi , ti ) = (x? , t? ),
ii

причем объем x? будет выбран так, чтобы выполнялось
i

а плата t? будет выбрана равной потребительскому излишку.
i
На Рис. 13.13 плате господина Low, t? , соответствует площадь A+B +C , а плате господина
l
? , — площадь A + B + C + D + E + F .
High, th
Если «персонифицированная» дискриминация неосуществима и потребители обоих типов
могут выбирать любую из двух предложенных им сделок, то все они предпочтут сделку перво-
го типа, (x? , t? ). Господин High предпочтет сделку первого типа, поскольку если он покупает
ll
13.2. Ценовая дискриминация 486

Рис. 13.13. «Персонифицированная» дискриминация возможна

x? блага по цене, равной площади A + B , то его излишек составит величину C , в то время
l
как в случае, когда он соглашается на сделку второго типа, его излишек равен нулю.
Таким образом, производитель должен так сконструировать второй тип сделки, чтобы он
кому-то был нужен. Для того, чтобы сделка второго типа для господина High оказалась не
менее привлекательной, чем сделка первого типа, монополист должен уменьшить взимаемую
с него плату на величина не меньшую, чем площадь фигуры C (т. е. vh (x? ) ? vl (x? )). При
l l
этом господин High оказывается безразличным к выбору между сделкой первого и второго
типа, но мы будем считать, как и ранее, что из каких-то внемодельных соображений он всегда
будет предпочитать то, что ему предназначено, т. е. сделку второго типа. Таким образом,
оптимальные сделки будут иметь вид

(x? , vl (x? )) и (xh , vh (x? ) ? [vh (x? ) ? vl (x? )]).
l l h l l

Эта система сделок удовлетворяет условию самовыявления: потребитель каждого типа
предпочитает предназначенную для него сделку. На Рис. 13.13 плата по сделкам второго типа
равна площади A + B + D + E + F .
Хотя данная система сделок удовлетворяет условиям участия и самовыявления, она не
оптимальна с точки зрения производителя, что проиллюстрировано на Рис. 13.14. Действи-
тельно, монополист может увеличить совокупную прибыль от этих сделок, понижая x? на l
?xl .
Если уменьшим x? на ?xl > 0, тогда прибыль монополиста упадет от того, что он со-
l
кращает количество, предлагаемое для сделки первому потребителю на величину площади
треугольника ? (раньше монополист получал всю площадь B , а сейчас — площадь B за вы-
четом площади малого треугольника ?, т. е. площадь B ). При этом в первом приближении
прибыль от каждой сделки первого типа уменьшится на величину, пропорциональную квадра-
ту ?xl (при достаточно малом ?xl площадь треугольника ? величина того же порядка, что
и (?xl )2 ).
Напомним, что монополист вынужден обеспечить господину High некоторый излишек, для
того, чтобы он не претендовал на сделку, предназначенную для господина Low. Прежнему
количеству x? соответствовал излишек C . Сократив количество x? , предлагаемое господину
l l
Low, на величину ?xl , монополист должен обеспечить господину High излишек C , который
меньше C на площадь трапеции ?. Площадь этой трапеции в первом приближении пропорци-
ональна ?xl .
Таким образом при малых ?xl потери прибыли от сделки с господином Low будут компен-
сированы увеличением прибыли от сделки с господином High. Тем самым, прибыль монополи-
ста вырастет.
13.2. Ценовая дискриминация 487

Рис. 13.14. Данная система сделок не оптимальна с точки зрения монополиста

13.2.2 Дискриминация второго типа (нелинейное ценообразование)

Предположим теперь, что монополист не имеет возможности предлагать разным потребителям разные сделки (либо потому, что не умеет их различать, либо потому, что ограничен законодательством в праве такой «персонифицированной» дискриминации).

Поскольку монополист не может различать потребителей, то он должен предложить общую для всех потребителей нелинейную схему оплаты t(-).

Понятно, что, как и дискриминация первого типа, дискриминация второго типа может осуществляться различными способами. Однако, результаты дискриминации второго типа могут быть различными в зависимости от выбранной схемы. Ниже мы рассмотрим две простейшие схемы — пакетную дискриминацию и двухкомпонентный тариф.

В дальнейшем для простоты мы будем предполагать, что на рынке есть всего два типа потребителей. Типичного потребителя первого типа, назовем господином Low, а типичного потребителя второго типа — господином High . В дальнейшем будем предполагать, что господин Low при любых количествах оценивает рассматриваемое благо ниже, чем господин High, т. е.

Дискриминация второго типа: пакетная дискриминация

В общем случае монополист может предложить потребителям на выбор k пакетов: (xj , tj), j = 1. ,k. Задача монополиста состоит в том, чтобы выбрать пакеты так, чтобы получить наибольшую прибыль (от тех пакетов, которые ему удастся продать). Прежде всего, приведем модель к эквивалентному, но более простому виду.

Во-первых, отметим, что нам достаточно рассмотреть случай, когда монополист предлагает только два пакета (k = 2). (Читатель может сам провести рассуждения, доказывающие это.)

Во-вторых, вспомним факт, упоминавшийся выше в контексте дискриминации первого типа, что если ограничение участия не выполнено, то потребитель уйдет с рынка, и монополист получит такую же прибыль, как и в случае, когда потребитель выбрал пакет вида (xi, ti) = (0, 0) . Поэтому можно ограничится рассмотрением только таких схем, при которых ни один потребитель не уйдет с рынка. Добавим это ограничение — условие участия — к задаче монополиста. Тем самым мы получим эквивалентную задачу (с точки зрения прибыли монополиста), но анализ упростится, так как целевая функция перестанет быть разрывной.

В-третьих, мы можем считать, что пакеты помечены индексом участников:

Первый из пакетов предназначен для господина Low, а второй — для господина High. При этом в задачу монополиста добавляется ограничение, которое гарантирует, что ни одному потребителю не выгодно выбирать пакет, который ему не предназначен — так называемое условие самовыявления.

Для «господина Low» условие самовыявления имеет вид

vi(xi) — ti ^ Vi (xfc) — tfc,

а для «господина High» —

Vfc(xfc) — tfc ^ Vfc(x^) — ti.

При добавлении этих ограничений задача остается эквивалентной исходной. Действительно, если потребители «поменяются пакетами», то можно просто поменять индексы пакетов. Если же все потребители выберут один и тот же пакет, то можно сделать другой пакет совпадающим с выбранным потребителями. В обоих случаях прибыль не изменится.

Таким образом, мы будем анализировать модель, в которой монополист выбирает сделки из семейства сделок (xi, ti), (xfc, tfc), задаваемого условиями участия и самовыявления. Если xi x^.

Сначала покажем графически (см. Рис. 13.13), что те пакеты, которые монополист выбрал бы при идеальной дискриминации, в данном случае не являются оптимальными. При этом будем использовать дополнительное упрощающее предположение, что предельные издержки постоянны, c > 0. Каждому из типов потребителей при идеальной дискриминации будет предложена сделка

(xi, ti) = (x* ,t* ), причем объем x* будет выбран так, чтобы выполнялось

а плата t* будет выбрана равной потребительскому излишку.

На Рис. 13.13 плате господина Low, t*, соответствует площадь A + B+C, а плате господина High, th, — площадь A + B + C + D + E + F.

Если «персонифицированная» дискриминация неосуществима и потребители обоих типов могут выбирать любую из двух предложенных им сделок, то все они предпочтут сделку первого типа, (x*, t*). Господин High предпочтет сделку первого типа, поскольку если он покупает

Рис. 13.13. «Персонифицированная» дискриминация возможна

x* блага по цене, равной площади A + B, то его излишек составит величину C, в то время как в случае, когда он соглашается на сделку второго типа, его излишек равен нулю.

Таким образом, производитель должен так сконструировать второй тип сделки, чтобы он кому-то был нужен. Для того, чтобы сделка второго типа для господина High оказалась не менее привлекательной, чем сделка первого типа, монополист должен уменьшить взимаемую с него плату на величина не меньшую, чем площадь фигуры C (т. е. vh(x*) — vi(x*)). При этом господин High оказывается безразличным к выбору между сделкой первого и второго типа, но мы будем считать, как и ранее, что из каких-то внемодельных соображений он всегда будет предпочитать то, что ему предназначено, т. е. сделку второго типа. Таким образом, оптимальные сделки будут иметь вид

(x^,vi(x^)) и (xh,vh(xh) — [vh(xi) — viЫ^.

Эта система сделок удовлетворяет условию самовыявления: потребитель каждого типа предпочитает предназначенную для него сделку. На Рис. 13.13 плата по сделкам второго типа равна площади A + B + D + E + F.

Хотя данная система сделок удовлетворяет условиям участия и самовыявления, она не оптимальна с точки зрения производителя, что проиллюстрировано на Рис. 13.14. Действительно, монополист может увеличить совокупную прибыль от этих сделок, понижая x* на Axi.

Если уменьшим x* на Axi > 0, тогда прибыль монополиста упадет от того, что он сокращает количество, предлагаемое для сделки первому потребителю на величину площади треугольника ® (раньше монополист получал всю площадь B, а сейчас — площадь B за вычетом площади малого треугольника ®, т. е. площадь B’). При этом в первом приближении прибыль от каждой сделки первого типа уменьшится на величину, пропорциональную квадрату Axi (при достаточно малом Axi площадь треугольника ® величина того же порядка, что и (Axi)2).

Напомним, что монополист вынужден обеспечить господину High некоторый излишек, для того, чтобы он не претендовал на сделку, предназначенную для господина Low. Прежнему количеству x* соответствовал излишек C. Сократив количество x*, предлагаемое господину Low, на величину Axi, монополист должен обеспечить господину High излишек C’, который меньше C на площадь трапеции ©. Площадь этой трапеции в первом приближении пропорциональна Axl .

Таким образом при малых Axi потери прибыли от сделки с господином Low будут компенсированы увеличением прибыли от сделки с господином High. Тем самым, прибыль монополиста вырастет.

Рис. 13.14. Данная система сделок не оптимальна с точки зрения монополиста

Можно продолжать сокращать xl . При некоторой величине xl прирост прибыли от сделки с господином High не будет покрывать падение прибыли от сделки с господином Low. По- видимому, должна существовать некоторая величина xl , которая соответствует оптимальной системе сделок, дающей монополисту максимальную прибыль.

Проанализируем теперь задачу отыскания оптимальной системы сделок формально. Мы будем далее предполагать, что монополист имеет дело с mi > 0 одинаковыми участниками типа «господин Low» и mh > 0 одинаковыми участниками типа «господин High». Таким образом, оптимальная система сделок <(xpP,tpP), (xh,th)>определяется решением следующей задачи:

П = miti + m-hth — c(mixi + m^h) ^ max

ti 0, придем к соотношению tpP > VJ(x[), которое противоречит ограничению добровольности (11). Таким образом,

Vh(xh) — th, = Vh(xP) — tp. (2h=)

Предположим теперь, что (21) выполнено как равенство, т. е. имеет место соотношение vi(xp) — tp = vi(xh) — th. Сложив его с (2h=), получим

vh(xPh) — vh(xp) = vi (xh — vi(xp). /////. Зачем здесь производные и интегралы? Представим это соотношение в виде р

v’h(x)dx = J р v[(x)dx.

Это равенство противоречит условию, что v[(x) 0, (подынтегральное выражение справа всегда меньше, чем подынтегральное выражение слева). Здесь предполагается, что xh = xlP , что читателю предлагается установить самостоятельно. Таким образом, для решения задачи выполняется соотношение

Используя существенность ограничений (11) и (2h), т. е. соотношения (11=) и (2h=), мы можем упростить задачу монополиста, сведя ее к следующей задаче безусловной максимизации:

mi vi (xi) + mh[vh(xh) — vh(xi) + vi (xi)> — c(mixi + mhxh) ^ max.

В предположении, что монополист предлагает сделки покупателям обоих типов, т. е. xpp,xh положительны, необходимым (и достаточным при данных предположениях о функциях полезности) условием оптимальности сделок является, равенство нулю первых производных максимизируемой функции, т. е. оптимум должен удовлетворять двум следующим соотношениям:

(mi + mh)v’p(xPp) — mhv’h (xp) = mi c'(mixp + mhxh), v’h (xh) = c'(mixp + mhxh).

Итак, в сделке, предназначенной господину High, предлагаемое количество xh совпадает с оптимальным количеством xh, (которое он получил бы и при совершенной конкуренции, и при идеальной дискриминации). Но присутствие господина High оказывает отрицательное внешнее влияние на господина Low — в предлагаемой ему сделке количество блага ниже, чем при идеальной дискриминации (и в условиях совершенной конкуренции). Действительно, первое условие оптимальности, можно представить в виде

mi vp(xp) = micp(mixp + mhxh) + mh[vh (xp) — vp(xp)>,

откуда следует, что

vp(xp) > c(mixp + mhxh).

Поясним оптимальную систему сделок на графике в случае постоянных предельных издержек, cp(y) = c (см. Рис. 13.15).

Отметим, что оптимальный контракт для господина Low характеризуется тем, что в точке

xi = xp отношение расстояния между кривыми предельной полезности двух участников к расстоянию между кривой предельной полезности господина Low и кривой предельных издержек равно отношению количества участников типа господина Low к количеству участников типа господина High:

vh(xp) — vl(xp) = vh(xp) — vl(xp) = m vPp(xpp) — cp(mixpp + mhxh) v[(xpp) — c mh’

Когда количество потребителей каждого типа одинаково, соответствующие отрезки равны, что и изображено на графике.

Согласно оптимальной системе сделок господин High заплатит за свой пакет сумму, равную площади A + B + D + E + F + G, а господин Low заплатит за свой пакет сумму, равную площади A + B.

Приведем сравнение оптимальной пакетной дискриминации с идеальной в частном случае, когда предельные издержки постоянны. Напомним, что при идеальной дискриминации монополист предлагает два пакета <(x*, t*), (x^t^)), такие что

Vl(x*) = c и Vh(xh) = С t* = Vi(x*) и ^ = Vi(xh).

Поскольку V^(xh) = c'(mjxP + m^x^) = c, то xh = xh, т. е. господин High приобретает то же количество благ. Однако он заплатит меньше, чем при идеальной дискриминации. Действительно плата господина High, th = Vi(xh), равна площади A+B+C+D+E+F+G, что больше, чем

th = th +tp — Vh(xp) = th — K(xp) — Vl(xp)]

(см. равенство (2h=)), что равно площади A + B + D + E + F + G. Разница, Vh(xP) — Vi(xP), есть площадь фигуры C. Таким образом присутствие господина Low (и то обстоятельство, что монополист их не может различать) оказывает благоприятное влияние на уровень благосостояния господина High (тем большее, чем больше число участников первого типа).

При идеальной дискриминации если V(0) > c (и, следовательно, Vh(0) > 0), то x* > 0 и xh > 0. При оптимальной пакетной дискриминации эти условия гарантируют лишь, что xh > 0 (вне зависимости от количества участников обоих типов, mi и mh), т. е. любой участник типа «господин High» будет обслуживаться. Однако участники типа «господин Low» будут обслуживаться только если доля таких участников достаточно велика. (Докажите это самостоятельно.)

Если присутствует хотя бы один участник типа «господин High», объем потребления блага потребителями типа «господин Low» будет меньше, чем при идеальной дискриминации. Это означает, что будут иметь место потери благосостояния:

DL = mi ? ([Vi(x*) + Vh(xh) — (x* + xh)c] — [Vi(xP) + Vh(xh) — (xP + xh)c]) = = mi ? ^yi(x*) — ViЮ — (x* — xP)c) > 0.

Итак, от невозможности различения участников монополистом при пакетной дискриминации Low ничего не выиграл и не проиграл (он выплачивает весь свой потребительский излишек), хотя его уровень потребления изменился, выиграл High (получил выигрыш, равный площади C), а монополист проиграл (его прибыль уменьшилась на величину mh ? ( площадь C) + mi ? ( площадь G)).

На Рис. 13.16 представлена оптимальная схема в другой системе координат. Поскольку у господина Low не остается потребительского излишка, то его кривая безразличия, проходящая через точку (xpP,tpP), должна также проходить через начало координат (напомним, что мы приняли vi(0) = 0). Господин High безразличен к выбору между пакетами, поэтому его кривая безразличия, проходящая через точку (xpP,tpP), должна проходить также и через точку (xh, th).

Пусть функции полезности господина Low и господина High имеют вид щ(xi, zi) = у/Щ + zi и Uh(xh,Zh) = 2^/xh + Zh, соответственно, а функция издержек линейна: c(x) = cx. Тогда оптимальные объемы xp, где i = l,h, для этих типов потребителей находятся из системы уравнений: p

Если mi > mh, то решение этой системы уравнений существует (в противном случае будут предлагаться сделки только одного типа): xh = c2.

При этом плата за приобретаемое благо будет равна:

t?h=vh(xh) — vh(xp)+vi(xi)=3mm ™h.

В частном случае, когда относится к mh как 2 к 1, получим xP 1 P 1 x = 16c2, xh = c2 tP = 1

lh = 7 4? Получается, что господин Low платит за единицу блага 4c, а господин High — 7c o Найдем также чистые потери общественного благосостояния. Они равны:

DL = m ? (vKx*) — v (xP) + c(xP + xh) — c(x* + xD) =

= m ? (vKx*) — v(xp>) + (xP — xi.

Напомним, что хг* = , поэтому

Когда доля участников типа High> пренебрежимо мала по сравнению с долей участников типа Low, то схема оплаты приближается к схеме оплаты при идеальной дискриминации, и потери благосостояния близки к нулю. Д

Дискриминация второго типа: двухкомпонентный тариф

Вторая (по порядку, но не по значению) рассматриваемая нами схема реализации второго типа дискриминации — это двухкомпонентный тариф. Определение двухкомпонентного тарифа рассматривалось нами на с. 481. Напомним, что схема реализации двухкомпонентного тарифа имеет вид: t(x) = A + px. Тот факт, что потребители имеют возможность ничего не покупать на рынке, можно учесть в функции t(x), так что она в результате приобретет вид:

. . I A + px, x > 0, t(x) = 0), то из-за квазилинейного характера функции полезности величина A не влияет на выбор xi. По сути дела, бюджетное ограничение, при двухкомпонентном тарифе можно рассматривать как обычное бюджетное ограничение, соответствующее доходу Wi — A. Спрос потребителя при данной величине p находится из условия первого порядка:

При этом функция vi(?) представляет собой обратную функцию спроса. В дальнейшем мы будем обозначать прямые функции спроса, задаваемые условиями первого порядка, через Dh(p) и Di(p) для господина High и господина Low соответственно. В этих обозначениях совокупный спрос, с которым столкнется монополист, назначив цену p , будет равен

D(p) = mhDh(p) + mi A (p).

Если оказывается, что Vi(Di(p)) — A — pDi(p) меньше Vi(0) = 0, то потребителю выгодно выбрать xi = 0, а не xi = Di(p). Отсюда получим условие участия:

Vi(Di(p)) — A — pDi(p) ^ 0.

Мы в дальнейшем разберем только случай, когда оптимальное для монополиста решение внутреннее, в том смысле, что каждый потребитель покупает благо в положительном количестве, т. е. xi > 0. Это подразумевает, что условие участия выполнено для каждого потребителя. (Очевидно, что если оптимальное решение не внутреннее, то оно должно иметь следующий вид: потребление потребителей типа «господин Low» равно нулю, а в отношении потребителей типа «господин High» монополист проводит идеальную дискриминацию по двухкомпонентной схеме. Читатель может доказать это самостоятельно.)

По крайней мере одно из условий участия в точке оптимума должно выполняться как равенство. В противном случае монополист мог бы увеличить прибыль, увеличив фиксированную плату A. Несложно показать, что оно должно быть выполнено как равенство для потребителей типа «господин Low». Действительно, пусть это не так, и для господина High выполнено

vh(xh) — A — pxh = 0.

Поскольку господин High выбрал xh, а не xi, то данное допущение влечет

vh(xi) — A — pxi ^ vh(xh) — A — pxh = 0.

По предположению, vh(x) > vi(x) Vx, поэтому

vi (xi) — A — pxi 0 и

vi (xi) — A — pxi = 0.

Тем самым мы получили, что при данной цене p монополисту выгодно назначить фиксированную плату на уровне потребительского излишка господина Low.

A(p)= vi(Di(p)) — pDi(p). t(x^vh(x)-[vh(xh)-A-pxh]

Теперь мы можем представить прибыль монополиста как функцию цены p:

n(p) = (mi + mh)[vi(Di(p)) — pDi(p)] + pD(p) — c(D(p)).

Последние два слагаемых представляют собой прибыль монополии, которая не применяет ценовую дискриминацию. Обозначим ее через nND (p). В этих обозначениях

n(p) = (mi + mh)[vi(Di(p)) — pDi(p)]+nND(p).

Продифференцировав по p, получим

— (p) = (mi + mh)[(vi(Di(p)) — p) ? D^p) — Di(p)] + -(p). Воспользуемся условием первого порядка для решения задачи потребителя:

— (p) = -(mi + mh)Di (p) + (p).

Если обозначить через pTP оптимальную цену, являющуюся решением задачи

-(mi + mh)Di(pTP) + — (pTP) 0), то

-(mi + mh)Di (pTP) + — (pTP) = 0.

^ dnND(pTP) . n TP — ND

Отсюда следует, что ^- > 0, откуда следует, что pIP не может совпадать с ценой p ,

которую бы назначила недискриминирующая монополия. Покажем, что в действительности pTP yND.

С другой стороны, расписывая

(pTP) = D(pTP) + [pTP — c'(D(pTP))]D/(pTP), D(pTP) = mhDh(pTP) + mi Di(pTP)

mh[Dh(pTp) — Dl(pTp)] + [pTp — c'(D(pTp))]D'(pTp) = 0.

При сделанном нами предположении, что v[(x) c'(D(pTp)).

Отсюда следует, что правило оптимального ценообразования — равенство цены предельным издержкам — не выполнено, и производимое количество блага, yTp = D(pTp), меньше оптимального с общественной точки зрения количества, у, которое должно удовлетворять условию

Таким образом, при этой схеме ценообразования цена, которую каждый потребитель платит за единицу продукции ниже, чем при линейном тарифе. А поэтому величина потребительского излишка каждого потребителя, а значит и величина совокупного излишка, выше, чем при линейном (недискриминирующем) ценообразовании. Другими словами, использование двухкомпонентного тарифа уменьшает чистые потери благосостояния по сравнению с недис- криминирующей монополией, хотя величина чистых потерь остается положительной.

Пусть, как и в предыдущем примере, функции полезности господина Low и господина High имеют вид ui(xi,zi) = ^Jx[ + zi и Uh(xh,Zh) = 2^xh + Zh, соответственно, а функция издержек, а функция издержек линейна: c(x) = cx.

Функции спроса имеют вид

Di(p) = 4p2 и Dh(p) = p]2 ?

Отсюда функция совокупного спроса равна

а ее производная —

Подставляя в условия первого порядка,

mh[Dh(pTP) — Di(pTp)] + [pTp — c'(D(pTp))]D'(pTp) = 0,

получим 3mh — [pTp — c]mi+^h =0,

Фиксированная плата равна

A = vi (Di (pTP)) — p Di (pTP) =

2pTP 4pTP 4pTP Для того, чтобы сравнить цену назначаемую дискриминирующим монополистом с ценой недискриминирующего, рассмотрим условия первого порядка для недискриминирующей монополии:

D(pND) + [pND — c'(D(pND))]D'(pND) = 0,

(pND^(mi/4 + mh) — [pND — (mi/4 + mh) = 0

Теперь сравним результаты применением двухкомпонентного тарифа и пакетной дискриминации как с точки зрения общества, так и с точки зрения монополиста. Для этого вычислим чистые потери благосостояния для двухкомпонентного тарифа (в случае пакетной дискриминации чистые потери были вычислены нами ранее) и прибыль монополиста в этих ситуациях. Чистые потери благосостояния в случае двухкомпонентного тарифа равны:

DL = mi + mh o 2^Dfe(c) — cD(c) —

— [mi^Di(pTP) + mh ? 2^Dh(pTP) — cD(pTP)] =

mi + 4mh mi + 4mh mi + 4mh mi + 4mh

2c 4c 2pTP 4(pTP)2

mi + 4mh ( _2c + c2 ) = mi + 4mh ( _c_ )2 = 4c ( pTP + (pTP)2 4c ( pTP) =

_ mi + 4mh (i — 2mi + 5mh)2 = 9mh

4c 2mi + 8mh 16(mi + 4mh)c

С точки зрения благосостояния общества однозначного выбора между двумя схемами сделать невозможно. В зависимости от соотношения между mi и mh чистые потери могут быть меньше либо в том, либо в другом случае.

Прибыль монополиста в случае применения пакетной дискриминации равна (m4mm’) , а

прибыль в случае применения двухкомпонентного тарифа равна ^(тг+т^с . Легко проверить, что вне зависимости от соотношения между mi и mh монополист предпочтет использовать пакетную дискриминацию. Д

Сравнительный анализ схем ценообразования при дискриминации второго типа

Пакетная схема ценообразования является оптимальной для монополиста. Объясним, почему это так. Предположим, что в результате использования некоторой схемы ценообразования t(-) господин Low выберет сделку, при которой он приобретает xi блага и платит за него ti, а господин High — Xh и th соответственно. Тогда монополист мог бы использовать пакетную дискриминацию, предложив потребителям «пакеты» (xi, ti) и (xh,th), первый из которых предпочитает господин Low, а второй — господин High. Таким образом, пара (xi,ti) и (xh,th) является допустимой в задаче выбора оптимальных пакетных сделок, и поэтому прибыль, получаемая монополистом при использовании любой другой схемы t(-) не может превышать прибыль, получаемую при использовании оптимальных пакетных сделок.

В частности, без использования дискриминации (ND ) и при использовании двухкомпонент- ного тарифа ( TP ) монополист не может получить более высокую прибыль, чем при использовании оптимальных пакетных сделок (P ), т. е.

nND VhixD — A — pxJP.

С другой стороны, vh(xTP)-p > 0, и поэтому монополист может повысить th по сравнению с th , не нарушая условие самовыявления. Тем самым, его прибыль возрастет, что и доказывает, что неравенство в вышеприведенном соотношении строгое: nTP c'(D(p)), то количество блага в сделке, предназначенной для покупателей второго типа, может быть увеличено, при соответствующем увеличении прибыли производителя, без нарушения условия самовыявления потребителей второго типа. Второе утверждение указывает еще один способ повышения прибыли — за счет увеличения xh.

Сказанное иллюстрирует Рис. 13.18. Площадь фигуры B на нижней части рисунка равна величине прироста платы за предлагаемое покупателю второго типа количество блага (xh), при котором он все еще предпочитает сделку (xh, th + B) сделке (xJP ,tJP) (точнее, эти сделки для него эквивалентны). На верхнем графике сделка (xh, th + B) лежит на кривой безразличия (пунктирная линия), полученной сдвигом первоначальной кривой безразличия потребителя второго типа, влево до точки, представляющей сделку (xJP ,tJP).

Дискриминация второго типа (нелинейное ценообразование)

Предположим теперь, что монополист не имеет возможности предлагать разным потребителям разные сделки (либо потому, что не умеет их различать, либо потому, что ограничен законодательством в праве такой «персонифицированной» дискриминации).

Поскольку монополист не может различать потребителей, то он должен предложить общую для всех потребителей нелинейную схему оплаты t(-).

Понятно, что, как и дискриминация первого типа, дискриминация второго типа может осуществляться различными способами. Однако, результаты дискриминации второго типа могут быть различными в зависимости от выбранной схемы. Ниже мы рассмотрим две простейшие схемы — пакетную дискриминацию и двухкомпонентный тариф.

В дальнейшем для простоты мы будем предполагать, что на рынке есть всего два типа потребителей. Типичного потребителя первого типа, назовем господином Low, а типичного потребителя

второго типа — господином High. В дальнейшем будем предполагать, что господин Low при любых количествах оценивает рассматриваемое благо ниже, чем господин High, т.е.

v’i(x) ;(0) =0 (г = l,h) также и соотношение

Дискриминация второго типа: пакетная дискриминация

В общем случае монополист может предложить потребителям на выбор к пакетов: (ж-, tj), j= 1, . к. Задача монополиста состоит в том, чтобы выбрать пакеты так, чтобы получить наибольшую прибыль (от тех пакетов, которые ему удастся продать). Прежде всего, приведем модель к эквивалентному, но более простому ВИДУ-

Во-первых, отметим, что нам достаточно рассмотреть случай, когда монополист предлагает только два пакета (к = 2). (Читатель может сам провести рассуждения, доказывающие это.)

Во-вторых, вспомним факт, упоминавшийся выше в контексте дискриминации первого типа, что если ограничение участия не выполнено, то потребитель уйдет с рынка, и монополист получит такую же прибыль, как и в случае, когда потребитель выбрал пакет вида (xit tt) = (0,0). Поэтому можно ограничится рассмотрением только таких схем, при которых ни один потребитель не уйдет с рынка. Добавим это ограничение — условие участия — к задаче монополиста. Тем самым мы получим эквивалентную задачу (с точки зрения прибыли монополиста), но анализ упростится, так как целевая функция перестанет быть разрывной.

В-третьих, мы можем считать, что пакеты помечены индексом участников:

Первый из пакетов предназначен для господина Low, а второй — для господина High. При этом в задачу монополиста добавляется ограничение, которое гарантирует, что ни одному потребителю не выгодно выбирать пакет, который ему не предназначен — так называемое условие самовыявления. Для «господина Low» условие самовыявления имеет вид

а для «господина High» —

th > vh(zi) -tf При добавлении этих ограничений задача остается эквивалентной исходной. Действительно, если потребители «поменяются пакетами», то можно просто поменять индексы пакетов. Если же все потребители выберут один и тот же пакет, то можно сделать другой пакет совпадающим с выбранным потребителями. В обоих случаях прибыль не изменится.

Таким образом, мы будем анализировать модель, в которой монополист выбирает сделки из семейства сделок (xh tt), (xk, tk), задаваемого условиями участия и самовыявления. Если ж, xh.

Рисунок 50. «Персонифицированная» дискриминация возможна

Сначала покажем графически (см. Рис. 50), что те пакеты, которые монополист выбрал бы при идеальной дискриминации, в данном случае не являются оптимальными. При этом будем использовать дополнительное упрощающее предположение, что предельные издержки постоянны, с > 0. Каждому из типов потребителей при идеальной дискриминации будет предложена сделка

причем объем х* будет выбран так, чтобы выполнялось

а плата t* будет выбрана равной потребительскому излишку.

На Рис. 50 плате господина Low, t*, соответствует площадь А + В + С, а плате господина High, t*k, — площадь А + В + С + D + E + F.

Если «персонифицированная» дискриминация неосуществима и потребители обоих типов могут выбирать любую из двух предложенных им сделок, то все они предпочтут сделку первого типа, (ж*, t*). Господин High предпочтет сделку первого типа, поскольку если он покупает ж* блага по цене, равной площади А + В, то его излишек составит величину С, в то время как в случае, когда он соглашается на сделку второго типа, его излишек равен нулю.

Таким образом, производитель должен так сконструировать второй тип сделки, чтобы он кому-то был нужен. Для того, чтобы сделка второго типа для господина High оказалась не менее привлекательной, чем сделка первого типа, монополист должен уменьшить взимаемую с него плату на величина не меньшую, чем площадь фигуры С (т.е. vh(x*) — г>,(ж*)). При этом господин High оказывается безразличным к выбору между сделкой первого и второго типа, но мы будем считать, как и ранее, что из ка- ких-то внемодельных соображений он всегда будет предпочитать то, что ему предназначено, т.е. сделку второго типа. Таким образом, оптимальные сделки будут иметь вид

Рисунок 5L Данная система сделок не оптимальна с точки зрения монополиста

Эта система сделок удовлетворяет условию самовыявления: потребитель каждого типа предпочитает предназначенную для него сделку. На Рисунке 50 плата по сделкам второго типа равна площади А + В + D + Е + F.

Хотя данная система сделок удовлетворяет условиям участия и самовыявления, она не оптимальна с точки зрения производителя, что проиллюстрировано на Рис. 51. Действительно, монополист может увеличить совокупную прибыль от этих сделок, понижая ж* на Дж,.

Если уменьшим ж* на Дж, > 0, тогда прибыль монополиста упадет от того, что он сокращает количество, предлагаемое для сделки первому потребителю на величину площади треугольника © (раньше монополист получал всю площадь В, а сейчас — площадь В за вычетом площади малого треугольника ©, т.е. площадь В’). При этом в первом приближении прибыль от каждой сделки первого типа уменьшится на величину, пропорциональную квадрату Дж, (при достаточно малом Дж, площадь треугольника © величина того же порядка, что и (Дж,)2).

Напомним, что монополист вынужден обеспечить господину High некоторый излишек, для того, чтобы он не претендовал на сделку, предназначенную для господина Low. Прежнему количеству ж* соответствовал излишек С. Сократив количество ж*, предлагаемое господину Low, на величину Дж,, монополист должен обеспечить господину High излишек С», который меньше С на площадь трапеции ©. Площадь этой трапеции в первом приближении пропорциональна Дж,.

Таким образом при малых Дж, потери прибыли от сделки с господином Low будут компенсированы увеличением прибыли от сделки с господином High. Тем самым, прибыль монополиста вырастет.

Можно продолжать сокращать ж,. При некоторой величине ж, прирост прибыли от сделки с господином High не будет покрывать падение прибыли от сделки с господином Low. По- видимому, должна существовать некоторая величина ж,, которая соответствует оптимальной системе сделок, дающей монополисту максимальную прибыль. Проанализируем теперь задачу отыскания оптимальной системы сделок формально. Мы будем далее предполагать, что монополист имеет дело с /?г, > 0 одинаковыми участниками типа

«господин Low» и mh> 0 одинаковыми участниками типа «господин High». Таким образом, оптимальная система сделок <(жг, ti), (xi, й)>определяется решением следующей задачи:

П = тг*г + mhth — с(??ггжг + mhxh) max Iljulljlt0. при ограничениях:

Поскольку монополист максимизирует прибыль, то по крайней мере одно из каждой пары ((1Z)> (21)) или ((1/г), (2h)) ограничений является существенным в точке максимума. В противном случае возможно увеличить прибыль, повысив, не нарушая ограничений, плату для того участника, для которого это не выполняется.

Покажем, что для господина Low активным окажется только первое из его ограничений (добровольность), а для господина High, наоборот, только второе (самовыявление).

Предположим противное. Пусть выполнено соотношение й = i’h(xh). Подставляя данное соотношение в ограничение самовыявления этого же участника и произведя соответствующие упрощения, получим tFi > vh(xi).

И используя предположение, что г>г(ж) 0, придем к соотношению й>г>г(жг), которое противоречит ограничению добровольности (1Z). Таким образом,

Vh(x1) — ti = Vh(xi) — ?. (2h=)

Предположим теперь, что (21) выполнено как равенство, т.е. имеет место соотношение г>,(жг) — ? = V[(x1) — ti. Сложив его с (2h=), получим

%(») — Vh(xpi) =v,(xph) — V,(xpi). Представим это соотношение в виде

J v’h(x)dx = J v’l(x)dx.

Это равенство противоречит условию, что v\(x) 0, (подынтегральное выражение справа всегда меньше, чем подынтегральное выражение слева). Здесь предполагается, что жл^жг, что

читателю предлагается установить самостоятельно. Таким образом, для решения задачи выполняется соотношение

Используя существенность ограничений (21) и (1Z), т.е. соотношения (21=), (1 h=), мы можем упростить задачу монополиста, сведя ее к следующей задаче безусловной максимизации:

vh(xi) + г’г(жг)] » c(m,x,+ mhxh) > ma.r .

В предположении, что монополист предлагает сделки покупателям обоих типов, т.е. хл, хн положительны, необходимым (и достаточным при данных предположениях о функциях полезности) условием оптимальности сделок является, равенство нулю первых производных максимизируемой функции, т.е. оптимум должен удовлетворять двум следующим соотношениям: (mi + >Щ) v’ixi) — m,h v’h(xi) = mlc’

Итак, в сделке, предназначенной господину High, предлагаемое количество xh совпадает с оптимальным количеством xh*, (которое он получил бы и при совершенной конкуренции, и при идеальной дискриминации). Но присутствие господина High оказывает отрицательное внешнее влияние на господина Low — в предлагаемой ему сделке количество блага ниже, чем при идеальной дискриминации (и в условиях совершенной конкуренции). Действительно, первое условие оптимальности, можно представить в виде

ml v’^xi) = т1 с ‘(¦m.fci + mhxh) + mh \v’h(xi) — v\(xi)]. Откуда следует, что

v\(xi) > с ‘(¦m.fci + mhxh).

Поясним оптимальную систему сделок на графике в случае постоянных предельных издержек, с'(у)=с (см. Рис. 52).

Отметим, что оптимальный контракт для господина Low характеризуется тем, что в точке ж, = хл отношение расстояния между кривыми предельной полезности двух участников к расстоянию между кривой предельной полезности господина Low и кривой предельных издержек равно отношению количества участников типа господина Low к количеству участников типа господина High:

Когда количество потребителей каждого типа одинаково, соответствующие отрезки равны, что и изображено на графике.

Согласно оптимальной системе сделок господин High заплатит за свой пакет сумму, равную площади А + В + D +Е + F + G, а господин Low заплатит за свой пакет сумму, равную площади А + В.

Приведем сравнение оптимальной пакетной дискриминации с идеальной в частном случае, когда предельные издержки постоянны. Напомним, что при идеальной дискриминации монополист предлагает два пакета <(ж*, t*), (x*k, t*h)>, такие, что ih(x*)=c и v’h(x*h) = с, t*l=Vi(X*l) И t*h = Vi(Xh)-

& = t*h + ?- vh(xl) = t*h — [г>Л(жг) — г>г(жг)] (см. равенство (2h=)), что равно площади А + В + D +Е + F + G. Разница, г’Л(жг) — г’г(жг), есть площадь фигуры С. Таким образом присутствие господина Low (и то обстоятельство, что монополист их не может различать) оказывает благоприятное влияние на уровень благосостояния господина High (тем большее, чем больше число участников первого типа). При идеальной дискриминации если г^(0) > с (и, следовательно, г^(0) > 0), то ж* > 0 и x*h > 0. При оптимальной пакетной дискриминации эти условия гарантируют лишь, что ж 1 > 0 (вне зависимости от количества участников обоих типов, ??г, и mh),

т.е. любой участник типа «господин High» будет обслуживаться. Однако участники типа «господин Low» будут обслуживаться только если доля таких участников достаточно велика. (Докажите это самостоятельно.)

3. Если присутствует хотя бы один участник типа «господин High», объем потребления блага потребителями типа «господин Low» будет меньше, чем при идеальной дискриминации. Это означает, что будут иметь место потери благосостояния:

DL = т1 ¦ ([г>г(жг*) + vh(xh*) — (жг*+ жЛ*)с] — [г>г(жг) + vh(xl) — (жг + ж*)с]) =

= mi ¦ (г’г(жг*) — vi 0. Итак, от невозможности различения участников монополистом при пакетной дискриминации Low ничего не выиграл и не проиграл (он выплачивает весь свой потребительский излишек), хотя его уровень потребления изменился, выиграл High (получил выигрыш, равный площади С), а монополист проиграл (его прибыль уменьшилась на величину m.h-(площадь С) + т, (площадь G)). В результате возникли чистые потери благосостояния, измеряемые величиной ш, (площадь G).

На Рис. 53 представлена оптимальная схема в другой системе координат. Поскольку у господина Low не остается потребительского излишка, то его кривая безразличия, проходящая через точку (жг, ?), должна также проходить через начало координат (напомним, что мы приняли г’г(0) =0). Господин High безразличен к выбору между пакетами, поэтому его кривая безразличия,

проходящая через точку (жг, ?), должна проходить также и через точку (xi, &).

Пусть функции полезности господина Low и господина High имеют вид щ(хь zt) + zt и uh(xh, zh) = + zh, соответствен

но, а функция издержек линейна: с(х) = сх. Тогда оптимальные объемы xi, где г = I, h, для этих типов потребителей находятся из системы уравнений:

(ш, + 1Щ) —j= — mh-j= = т1 с, 2л\х1 у] xi 1

Если ш, > тъ , то решение этой системы уравнений существует (в противном случае будут предлагаться сделки только одного типа):

р _ 1Щ-1Щ 2 р _ 1

При этом плата за приобретаемое благо будет равна:

р / Р\ / Р\ , / Р\ 3 771ТПг,

В частном случае, когда шг относится к mh как 2 к 1, получим

Получается, что господин Low платит за единицу блага 4с, а господин High — «тр

Найдем также чистые потери общественного благосостояния. Они равны:

DL = ml ¦ (i’i(x’) — i’i(xi) + c(xi + xl) — c(x*+ xl)) =

Напомним, что x * = поэтому

2 ml с +|_( 2m,c ) 4m,c ‘ Когда доля участников типа «господин High» пренебрежимо мала по сравнению с долей участников типа «господин Low», то

схема оплаты приближается к схеме оплаты при идеальной дискриминации, и потери благосостояния близки к нулю. ^

Дискриминация второго типа: двухкомпонентный тариф

Вторая (по порядку, но не по значению) рассматриваемая нами схема реализации второго типа дискриминации — это двухкомпонентный тариф. Определение двухкомпонентного тарифа рассматривалось нами на стр. 78. Напомним, что схема реализации двухкомпонентного тарифа имеет вид: t(x) = А+ рх. Тот факт, что потребители имеют возможность ничего не покупать на рынке, можно учесть в функции t(x), так что она в результате приобретет вид:

Для того, чтобы найти характеристики оптимального двухкомпонентного тарифа (А, р), необходимо прежде всего рассмотреть поведение потребителей, сталкивающихся с такой схемой оплаты. Если потребитель покупает благо в положительном количестве > 0), то из-за квазилинейного характера функции полезности величина А не влияет на выбор х<. По сути дела, бюджетное ограничение, при двухкомпонентном тарифе можно рассматривать как обычное бюджетное ограничение, соответствующее доходу Ю; - А. Спрос потребителя при данной величине р находится из условия первого порядка:

При этом функция г>’Д-) представляет собой обратную функцию спроса. В дальнейшем мы будем обозначать прямые функции спроса, задаваемые условиями первого порядка, через Dh(p) и D[(p) для господина High и господина Low соответственно. В этих обозначениях совокупный спрос, с которым столкнется монополист, назначив ценур, будет равен

D(p) = mhDh(p) + mqD^p).

Если оказывается, что v^D^p)) -A-pD^p) меньше г>;(0) =0, то потребителю выгодно выбрать х< = 0, а не х< = D^p). Отсюда получим условие участия:

Мы в дальнейшем разберем только случай, когда оптимальное для монополиста решение внутреннее, в том смысле, что каждый потребитель покупает благо в положительном количестве,

т.е. х < >0. Это подразумевает, что условие участия выполнено для каждого потребителя. (Очевидно, что если оптимальное решение не внутреннее, то оно должно иметь следующий вид: потребление потребителей типа «господин Low» равно нулю, а в отношении потребителей типа «господин High» монополист проводит идеальную дискриминацию по двухкомпонентной схеме. Читатель может доказать это самостоятельно.)

По крайней мере одно из условий участия в точке оптимума должно выполняться как равенство. В противном случае монополист мог бы увеличить прибыль, увеличив фиксированную плату А. Несложно показать, что оно должно быть выполнено как равенство для потребителей типа «господин Low». Действительно, пусть это не так, и для господина High выполнено Vh(xh)-A-pxh = 0.

Поскольку господин High выбрал xh, а не х<, то данное допущение влечет

А-рх, vt(x) Ух, поэтому

г’гЫ — A-pxt „(жг) — А — рхл 0 и

Тем самым мы получили, что при данной цене р монополисту выгодно назначить фиксированную плату на уровне потребительского излишка господина Low.

Теперь мы можем представить прибыль монополиста как функцию цены р:

П(р) = (т, +mh)[v,(Dl(p))-pDl(p)] + pD(p)-c(D(p)). Последние два слагаемых представляют собой прибыль монополии, которая не применяет ценовую дискриминацию. Обозначим ее через П’ (р). В этих обозначениях

П(р) = (m, +m,h)[vl(Dl(p)) -pDip)\ + ПND(p). Продифференцировав по р, получим

Воспользуемся условием первого порядка для решения задачи потребителя:

Если обозначить через pf оптимальную цену, являющуюся решением задачи

причем если решение внутреннее (pf > 0), то

Отсюда следует, что ^ (pf) > 0, откуда следует, что р не

может совпадать с ценой р , которую бы назначила недискрими- нирующая монополия. Покажем, что в действительности pf pD(p) — c(D(p)) Vp > 0.

другой стороны, при р > р

A(jT) = г>,(А(Л) -РМ0Ц(Л > vl(Dl(p))-pDl(p)=A(p),

(щ + + pDD(pD) — c(D(p’d)) >

Это и означает, что прибыль монополиста при любом р > р°

не превышает прибыль при р = р .

Таким образом, рР у .

С другой стороны, расписывая

D(pP) = m.hDh(pJF) + ??г,Д (рТР)

Отсюда следует, что правило оптимального ценообразования — равенство цены предельным издержкам — не выполнено, и производимое количество блага, yf = D(pf), меньше оптимального с общественной точки зрения количества, у, которое должно удовлетворять условию

Таким образом, при этой схеме ценообразования цена, которую каждый потребитель платит за единицу продукции ниже, чем при линейном тарифе. А поэтому величина потребительского излишка каждого потребителя, а значит и величина совокупного излишка, выше, чем при линейном (недискриминирую- щем) ценообразовании. Другими словами, использование двухкомпонентного тарифа уменьшает чистые потери благосостояния по сравнению с недискриминирующей монополией, хотя величина чистых потерь остается положительной.

Пусть, как и в предыдущем примере, функции полезности господина Low и господина High имеют вид щ(хь zt) = у[х^ + zl и uh(xh, zh) = + zk, соответственно, а функция издержек, а

функция издержек линейна: с(х)=сх. Функции спроса имеют вид

Отсюда функция совокупного спроса равна

а ее производная —

, т, + 4 mh D(P)— 2 р3 ¦

Подставляя в условия первого порядка,

Фиксированная плата равна

Тр 7-1 / Тр \ 1 1 1

Для того чтобы сравнить цену назначаемую дискриминирующим монополистом с ценой недискриминирующего рассмотрим условия первого порядка для недискриминирующей монополии:

D(p°) + [pND — c'(D(pND))] D'(p°) = 0,

^ND^ (mj 4 + mh) — [pD — c] + mh) = 0

Теперь сравним результаты применением двухкомпонентного тарифа и пакетной дискриминации как с точки зрения общества, так и с точки зрения монополиста. Для этого вычислим чистые потери благосостояния для двухкомпонентного тарифа (в случае пакетной дискриминации чистые потери были вычислены нами ранее) и прибыль монополиста в этих ситуациях. Чистые потери благосостояния в случае двухкомпонентного тарифа равны: DL = misfDjPf + m.h-2y[DpT — cD(c) —

_ 1Щ + 4 mh ml + 4 mh ml + 4 mh ml + 4 mh — 2c 4c 2p’ +C 4(p’f

m, + 4mft 2с с2 т., + 4mft с -2

4c ^ » pJF + (pTP)2 ‘ — 4c ^ » I

_ml + Amh, _ 2m, + 5mh 2 _ 9mh2

4c ^ 2шг + 8ш/[‘ 16(шг + 4 mh)c’

С точки зрения благосостояния общества однозначного выбора между двумя схемами сделать невозможно. В зависимости от соотношения между шг и mh чистые потери могут быть меньше либо в том, либо в другом случае.

Прибыль монополиста в случае применения пакетной дис- (т, + тъ)2

криминации равна с , а прибыль в случае применения

двухкомпонентного тарифа равна I6(mj + 4пц)с- Легко проверить,

что вне зависимости от соотношения между ш, и тъ монополист предпочтет использовать пакетную дискриминацию.